Daß er mit diesem Zug keine Figur "überspringen" darf und er noch auf seiner Anfangsposition stehen muß, ist mir klar, aber ich dachte bisher dies wären die einzigen Kriterien.
In diesem Fall könnte man sich allerdings beim 4. Spiel der ersten Serie von Zeitnot auf dieser Page den ersten Zug sparen und direkt Zug 2 und 3 machen. (Dadurch bin ich auf die Frage gekommen)

Ich hoffe dass ich es richtig in Erinnerung habe, ich schreibe die Antwort aus dem Kopf.

1. Lg7  K h5
2.  g4 +   scheitert an h x g3  ( en passant / zu deutsch: schlagen im Vorübergehen )

Das bedeutet der Zug g4 wird behandelt wie 2 Züge ( g3 + g4)
hiernach kann Schwarz ( g.g.f. Weiss bei umgekehrter Lage) den Bauern herrausschlagen sobald dieser über dass Feld der dritten ( bzw. umgekehrt der 6 ten Reihe geht ) Vorraussetzung hierfür ist dass der B einen vorher einen Doppelschritt gemacht hat ( stände der B bereits auf g3 und würde von hieraus auf g4 ziehen wäre ein schlagen nicht mehr möglich) Und der Zug ( en passant ) muss direkt im darauffolgenden Zug ausgeführt werden.

Bei einer Theoretisch angenommenen Stellung:
( bitte nicht auf Sinn oder Unsinn der Stellung oder Züge achten es geht einzig und alleine darum dass Prinzip zu erklären)

W: K e1   T h1   B e2
S:  K e8   T h8   B d4

W Zieht e4 hiernach kann der S: d x e3 schlagen
Falls Schwarz mit einem anderen Zug z.B. mit 0-0 (kleiner Unterricht in Regelkunde / hier erlaubt (Vorrausgestzt das der SK und der ST sich noch nicht bewegt haben)  da nur der T angegriffen ist und der K nicht durchs Schach Rochiert)  antwortet hat er egal wie Weiss antwortet nicht mehr die Möglichkeit den Bauern per en passant zu schlagen.
Dieses Privileg hat aus irgendeinem Grund der mir nicht bekannt ist aber nur der B wäre die Stellung also z.B.
W: K e1  Th1  B e2
S : K e8  Th8  L d4

und Weiss zieht e4 ist zwar  L e3 als Zug möglich dieser Zug schlägt aber auf keinen Fall den Bauern.

Um noch einemal Deine Frage ganz klar zu beantworten: Für einen Doppelschritt des B sind nur Deine beiden genannten Kretärien wichtig, und dass der B nicht an den K gefesselt ist z.B.  W: K g1  Bf2       S: L c5     K irgendwo nicht auf d4

sollten noch Fragen offen sein werde ich diese Beantworten.